Stata-Hilfe Der Befehl estat vif berechnet die Varianzinflationsfaktoren für die unabhängigen Variablen. Der Varianz-Inflationsfaktor ist ein nützlicher Weg, um Multicollinearität unter den unabhängigen Variablen zu suchen. Weitere Informationen über Varianzinflationsfaktoren finden Sie auf der Wikipedia-Seite (speziell im Abschnitt Ressourcen). Soweit Syntax geht, nimmt estat vif keine Argumente. Es hat eine Option. Uncentrierte, die nicht beanspruchte Variationsinflationsfaktoren berechnet. Der statische Regression-Postestiomationsabschnitt von R schlägt diese Option zum Nachweis der Kollinearität von Regressoren mit der Konstanten vor (Q-Z S. 108). Kontakt Reed College 3203 Südost Woodstock Boulevard Portland, Oregon 97202-8199 Telefon: 503 / 771-1112 Fax: 503 / 777-7769Regressionsgrundlagen für Business Analysis Wenn Sie sich jemals gefragt, wie zwei oder mehr Dinge beziehen sich auf einander, oder wenn Sie jemals hatte Ihr Chef fragen Sie eine Prognose erstellen oder analysieren Beziehungen zwischen Variablen, dann Lernen Regression wäre Ihre Zeit wert. In diesem Artikel, youll lernen die Grundlagen der einfachen linearen Regression - ein Werkzeug häufig in der Prognose und Finanzanalyse verwendet. Wir beginnen mit dem Erlernen der Grundprinzipien der Regression, erstes Lernen über Kovarianz und Korrelation und dann weiter zum Aufbauen und Interpretieren einer Regressionsleistung. Eine Menge von Software wie Microsoft Excel kann alle Regression Berechnungen und Ergebnisse für Sie tun, aber es ist immer noch wichtig, die zugrunde liegende Mechanik zu lernen. Im Zentrum der Regression ist die Beziehung zwischen zwei Variablen, die als abhängige und unabhängige Variablen bezeichnet werden. Angenommen, Sie wollen Umsatz prognostizieren für Ihr Unternehmen und Sie haben festgestellt, dass Ihr Unternehmen Umsatz nach oben und unten je nach Veränderungen des BIP. Der Verkauf, den Sie prognostizieren, wäre die abhängige Variable, weil ihr Wert vom Wert des BIP abhängt und das BIP die unabhängige Variable wäre. Sie müssten dann die Stärke der Beziehung zwischen diesen beiden Variablen zu bestimmen, um Umsatz zu prognostizieren. Wenn das BIP um 1 steigt / abnimmt, wird Ihr Umsatz steigen oder senken Kovarianz Die Formel zur Berechnung der Beziehung zwischen zwei Variablen heißt Kovarianz. Diese Berechnung zeigt Ihnen die Richtung der Beziehung sowie deren relative Stärke. Wenn eine Variable ansteigt und die andere Variable dazu neigt, ebenfalls zuzunehmen, wäre die Kovarianz positiv. Wenn eine Variable nach oben geht und die andere nach unten geht, dann wäre die Kovarianz negativ. Die tatsächliche Zahl erhalten Sie von der Berechnung dieses kann schwer zu interpretieren, weil es nicht standardisiert ist. Eine Kovarianz von fünf kann zum Beispiel als eine positive Beziehung interpretiert werden, aber die Stärke der Beziehung kann nur als stärker bezeichnet werden, als wenn die Zahl vier oder schwächer wäre, als wenn die Zahl sechs wäre. Korrelationskoeffizient Wir müssen die Kovarianz standardisieren, damit wir sie bei der Prognose besser interpretieren und verwenden können, und das Ergebnis ist die Korrelationsrechnung. Die Korrelationsberechnung nimmt einfach die Kovarianz und teilt sie durch das Produkt der Standardabweichung der beiden Variablen. Dies wird die Korrelation zwischen einem Wert von -1 und 1 gebunden. Eine Korrelation von 1 kann interpretiert werden, um zu suggerieren, dass sich beide Variablen perfekt positiv zueinander bewegen und ein -1 impliziert, dass sie perfekt negativ korreliert sind. In unserem vorherigen Beispiel, wenn die Korrelation 1 ist und das BIP um 1 erhöht wird, würde der Umsatz um 1 zu erhöhen. Wenn die Korrelation -1 ist, würde eine Erhöhung des BIP in einer 1 Umsatzrückgang führen - genau das Gegenteil. Regressionsgleichung Nun, da wir wissen, wie die relative Beziehung zwischen den beiden Variablen berechnet wird, können wir eine Regressionsgleichung entwickeln, um die Variable, die wir wünschen, vorherzusagen oder vorherzusagen. Unten ist die Formel für eine einfache lineare Regression. Y ist der Wert, den wir vorhersagen wollen, b die Steigung der Regression, x der Wert unseres unabhängigen Wertes ist und a den y-Achsenabschnitt darstellt. Die Regressionsgleichung beschreibt einfach die Beziehung zwischen der abhängigen Variablen (y) und der unabhängigen Variablen (x). Der Intercept oder a ist der Wert von y (abhängige Variable), wenn der Wert von x (unabhängige Variable) Null ist. So, wenn es keine Änderung im BIP gab, würde Ihr Unternehmen noch einige Verkäufe machen - dieser Wert, wenn die Änderung im BIP null ist, ist das Intercept. Werfen Sie einen Blick auf die Grafik unten, um eine grafische Darstellung einer Regressionsgleichung zu sehen. In diesem Graphen gibt es nur fünf Datenpunkte, die durch die fünf Punkte auf dem Graphen dargestellt werden. Lineare Regression versucht, eine Linie zu schätzen, die am besten zu den Daten passt, und die Gleichung dieser Zeile ergibt die Regressionsgleichung. Abbildung 1: Line of best fit Interpretation Die wichtigsten Ergebnisse, die Sie für die einfache lineare Regression betroffen sein müssen, sind die R-squared. Dem Intercept und dem BIP-Koeffizienten. Die R-Quadrat-Zahl in diesem Beispiel ist 68,7 - dies zeigt, wie gut unser Modell den zukünftigen Umsatz prognostiziert oder prognostiziert. Als nächstes haben wir einen Intercept von 34,58, was uns sagt, dass, wenn die Veränderung des BIP für null erwartet wurde, unser Umsatz etwa 35 Einheiten betragen würde. Und schließlich sagt der BIP-Korrelationskoeffizient von 88,15, dass bei einem Anstieg des BIP um 1 der Umsatz voraussichtlich um rund 88 Einheiten steigen wird. Die Bottom Line So wie würden Sie mit diesem einfachen Modell in Ihrem Unternehmen Nun, wenn Ihre Forschung führt Sie zu glauben, dass die nächste BIP-Änderung wird ein bestimmter Prozentsatz sein, können Sie diesen Prozentsatz in das Modell stecken und generieren eine Umsatzprognose. Dies kann Ihnen helfen, einen objektiveren Plan und Budget für das kommende Jahr zu entwickeln. Natürlich ist dies nur eine einfache Regression und es gibt Modelle, die Sie erstellen können, die mehrere unabhängige Variablen genannt multiple lineare Regressionen. Aber mehrere lineare Regressionen sind komplizierter und haben mehrere Fragen, die einen anderen Artikel benötigen, um zu diskutieren. Der Zinssatz, zu dem ein Depot die an der Federal Reserve gehaltenen Gelder an eine andere Depotbank leiht. Ein Portfolio von festverzinslichen Wertpapieren, in denen jedes Wertpapier ein signifikant unterschiedliches Fälligkeitsdatum aufweist. Der Zweck von. Das Verfalldatum der verschiedenen Aktienindex-Futures, Aktienindexoptionen, Aktienoptionen und Single Stock Futures. Alles auf Lager. Eine Art von Versicherungspolice, in der der Versicherte eine bestimmte Menge an Auslagen für Gesundheitsleistungen wie zahlt. Regierungsmaßnahmen und - politiken, die den internationalen Handel einschränken oder beschränken, oft mit der Absicht des Schutzes der lokalen Bevölkerung. Ein Treuhänder ist eine Person, die im Namen einer anderen Person handelt, oder Personen, die Vermögenswerte verwalten. Intrapreting Statistische Ergebnisse Ergebnisse, wo Daten normal verteilt sind und Varianz bekannt oder unbekannt ist 13 Wenn eine Varianz einer Population (2) bekannt ist, ist der z-Test Ist die bevorzugte Alternative, um eine Hypothese des Populationsmittels () zu testen. Um die Teststatistik zu berechnen, ist Standardfehler gleich Populationsstandardabweichung / Quadratwurzel der Stichprobengröße. Beispielsweise ist bei einer Populationsvarianz von 64 und einer Stichprobengröße von 25 der Standardfehler gleich (64) 1/2 / (25) 1/2. Oder 1,6. 13 Beispiel: Teststatistik 13 Angenommen, im selben Fall haben wir einen Hypothesentest konstruiert, dass die mittlere jährliche Rendite gleich 12 ist, dh wir haben einen zweiseitigen Test, bei dem die Nullhypothese ist, dass die Population 12 bedeutet Ist die Alternative, dass sie nicht gleich 12 ist. Unter Verwendung eines kritischen Wertes von 0,05 (0,025 für jeden Schwanz) ist unsere Regel, den Nullwert abzulehnen, wenn die Teststatistik entweder unter -1,96 oder über 1,96 liegt (bei p .025, z 1,96) ). Angenommen, die Stichprobe beträgt 10,6. 13 Antwort: Teststatistik (10,6 - 12) / 1,6 -1,4 / 1,6 -0,875. Dieser Wert fällt nicht unter den Ablehnungspunkt, so dass wir die Nullhypothese nicht mit statistischer Sicherheit ablehnen können. 13 Wenn wir Hypothesentests über ein Populationsmittel durchführen, ist es relativ wahrscheinlich, dass die Bevölkerungsabweichung unbekannt sein wird. In diesen Fällen verwenden wir eine Standardabweichung bei der Berechnung des Standardfehlers und die t-Statistik für die Entscheidungsregel (d. h. als Quelle für unser Ablehnungsniveau). Im Vergleich zur z - oder Standardnorm ist eine t-Statistik konservativer (d. h. höhere Ablehnungspunkte für die Ablehnung der Nullhypothese). In Fällen mit großen Probengrößen (mindestens 30) kann die z-Statistik ersetzt werden. 13 Beispiel: Nehmen wir einen Fall, bei dem die Stichprobengröße 16 ist. In diesem Fall ist die t-stat die einzige geeignete Wahl. Für die t-Verteilung werden Freiheitsgrade als (Stichprobengröße - 1), df 15 in diesem Beispiel berechnet. In diesem Fall gehen wir davon aus, dass wir eine Hypothese aufstellen, dass ein Populationsmittel größer als 8 ist, also wird dies ein eintägiger Test (rechter Schwanz): Nullhypothese ist lt 8, und die Alternative ist, dass gt 8. Unsere erforderliche Bedeutung Ist 0,05. Unter Verwendung der Tabelle für Studenten t-Verteilung für df 15 und p 0,05, ist der kritische Wert (Ablehnung Punkt) 1,753. Mit anderen Worten, wenn unsere berechnete Teststatistik größer als 1.753 ist, lehnen wir die Nullhypothese ab. 13 Antwort: Zu Schritt 5 des Hypothesentests wechseln wir eine Stichprobe, bei der der Mittelwert 8,3 und die Standardabweichung 6,1 beträgt. Für dieses Beispiel ist der Standardfehler s / n 1/2 6.1 / (16) 1/2 6.1 / 4 1.53. Die Teststatistik ist (8,3 - 8,0) / 1,53 0,3 / 1,53 oder 0,196. Wenn wir 0,196 zu unserem Ablehnungspunkt von 1,753 vergleichen, können wir die Nullhypothese nicht zurückweisen. 13 In diesem Fall war unser Stichprobenmittelwert von 8,3 tatsächlich größer als 8, jedoch wird der Hypothesentest auf statistische Signifikanz angelegt, nicht einfach ein Stichprobenmittel mit der Hypothese vergleichen. Mit anderen Worten, die Entscheidungen in der Hypothesenprüfung sind auch eine Funktion der Probengröße (die bei 16 ist niedrig), die Standardabweichung, das erforderliche Maß an Signifikanz und die t-Verteilung. Unsere Interpretation in diesem Beispiel ist, dass die 8,3 aus der Stichprobe bedeuten, während nominell höher als 8 ist einfach nicht signifikant höher als 8, zumindest bis zu dem Punkt, wo wir in der Lage, endgültig eine Schlussfolgerung in Bezug auf die Bevölkerung bedeuten, größer als 8 ist 13 Relative Gleichheit der Populationsmittel von zwei normalverteilten Populationen, wobei unabhängige Zufallsstichproben von Variationen gleich oder ungleich angenommen werden Für den Fall, dass die Populationsabweichungen für zwei getrennte Gruppen als gleich angenommen werden können, ist eine Technik zum Bündeln einer Schätzung der Populationsabweichung (S 2) aus den Abtastdaten ist durch die folgende Formel gegeben (nimmt zwei unabhängige Stichproben an): 13 wobei: n 1. N 2 Probengrößen sind und s 1 2 s 2 2 Probenabweichungen sind. 13 Freiheitsgrade n 1 n 2 - 2 13 Zum Testen der Gleichheit zweier Populationsmittel (dh 1 2) berechnet die Teststatistik die Differenz der Probenmittel (X 1 - X 2), geteilt durch den Standardfehler: die Quadratwurzel Von (s 2 / n 1 s 2 / n 2). Beispiel: Populationsmittel Nehmen wir an, dass die gepoolte Schätzung der Varianz (s 2) 40 war und die Stichprobengröße für jede Gruppe 20 war. Standardfehler (40/20 40/20) 1/2 (80/20) 2. Antwort: Wenn Probe Mittel waren 8,6 und 8,9, die t (8,6 - 8,9) / 2 -0,3 / 2 -0,15. Tests von Gleichheit / Ungleichheit sind zweiseitige Tests. Bei df 38 (Summe der Probengrößen - 2) und wenn wir 0,05 Signifikanz (p 0,025) annehmen, beträgt der Ablehnungspegel t lt -2,024 bzw. t gt 2,024. Da unsere berechnete Teststatistik -0.15 war, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen, dass diese Populationsmittel gleich sind. 1. Für Hypothesen von gleicher Bevölkerungszahl, bei denen Varianzen nicht gleich angenommen werden können, ist die entsprechende Teststatistik für die Hypothese der t-stat, aber wir können keine Schätzung der Standardabweichung mehr zusammenfassen und der Standardfehler wird das Quadrat Wurzel von (s 1 2 / n 1) (s 2 2 / n 2). Die Nullhypothese bleibt 1 2. Und die Teststatistik wird ähnlich dem vorherigen Beispiel berechnet (d. h. Unterschied in der Abtastvorrichtung / Standardfehler). Berechnen von Freiheitsgraden wird durch diese Formel angenähert 13 Look Out 13 Hinweis: Dont verbringen Zeit merken diese Formel wird es nicht für die Prüfung erforderlich. Focus stattdessen auf die Schritte der Hypothese Tests und Interpretation Ergebnisse. 13 Der Paired-Comparisons-Test Das vorangegangene Beispiel prüfte die Gleichheit oder Ungleichheit von zwei Populationsmitteln mit einer Schlüsselannahme, dass die beiden Populationen unabhängig voneinander waren. In einem Paar-Vergleichstest haben die beiden Populationen einen gewissen Grad an Korrelation oder Co-Bewegung, und die Berechnung der Teststatistik berücksichtigt diese Korrelation. Nehmen wir einen Fall, bei dem wir zwei Investmentfonds vergleichen, die beide als Large-Cap-Wachstum eingestuft werden, wobei wir testen, ob die Renditen für einen deutlich über dem anderen liegen (statistisch signifikant). Der gepaarte Vergleichstest eignet sich, da wir einen gewissen Grad an Korrelation annehmen, da die Rendite für jede von dem Markt abhängig ist. Um die t-Statistik zu berechnen, finden wir zunächst die Stichproben-Mittelwertdifferenz. (D & sub1; d & sub2; d & sub3; dn), wobei n die Anzahl der gepaarten Beobachtungen ist (in unserem Beispiel die Anzahl der Viertel, für die wir vierteljährlich zurückkehren), und jedes d ist Die Differenz zwischen jeder Beobachtung in der Probe. Als nächstes Probenabweichung. Oder (Summe aller Abweichungen von d) 2 / (n - 1) wird mit der Standardabweichung (s d) der positiven Quadratwurzel der Varianz berechnet. Standardfehler s d / (n) 1/2. Für unser gemeinsames Beispiel, wenn unsere durchschnittlichen Renditen für 10 Jahre (40 Quartale der Daten) sind, eine mittlere Differenz von 2,58 und eine Standardabweichung von 5,32 haben, wird unsere Teststatistik als (2.58) / ((5.32) / (40) 1/2) oder 3,067. Bei 49 Freiheitsgraden mit einem Signifikanzniveau von 0,05 beträgt der Ablehnungspunkt 2,01. So lehnen wir die Nullhypothese ab und geben an, dass es einen statistisch signifikanten Unterschied in den Renditen zwischen diesen Fonds gibt. Hypothesentests zur Varianz einer normalverteilten Population Hypothesentests zum Wert einer Varianz (2) beginnen mit der Formulierung der Null - und Alternativhypothesen. 13 In Hypothesentests für die Varianz auf einer einzigen normalverteilten Population ist die entsprechende Teststatistik als Chi-Quadrat mit 2 bezeichnet. Anders als die Verteilungen, die wir bisher verwendet haben, ist das Chi-Quadrat asymmetrisch, wie es gebunden ist Die linke um null. (Das muss wahr sein, da die Varianz immer eine positive Zahl ist.) Das Chi-Quadrat ist tatsächlich eine Verteilungsgruppe ähnlich der t-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden, die zu einer anderen Chi-Quadrat-Verteilung führt. 13 Wobei: n Stichprobengröße, s 2 Stichprobenabweichung, 0 2 Bevölkerungsabweichung aus der Hypothese Probenabweichung s 2 wird als Summe der Abweichungen zwischen den beobachteten Werten und der Stichprobe mittlere 2 Freiheitsgrade oder n - 1 Beispiel: Hypothesenprüfung W / Chi Squared Statistic Um einen Hypothesentest unter Verwendung der Chi-Quadrat-Statistik zu veranschaulichen, nehmen wir ein Beispiel für einen Fonds, von dem wir glauben, dass er sehr volatil gegenüber dem Markt ist, und wir möchten das Risiko (nach vierteljährlichem Standard) nachweisen Abweichung) ist größer als die Märkte Durchschnitt. Für unseren Test gehen wir davon aus, dass die vierteljährliche Standardabweichung der Märkte 10 ist. Unser Test wird vierteljährliche Renditen in den letzten fünf Jahren untersuchen, also n 20 und Freiheitsgrade 19. Unser Test ist ein überdurchschnittlicher Test mit der Nullhypothese von 2 Lt (10) 2. oder 100 und eine abweichende Hypothese von 2 gt 100. Unter Verwendung von 0,05 Signifikanzniveaus beträgt unser Ablehnungspunkt aus den Chi-Quadrat-Tabellen mit df 19 und p 0,05 im rechten Schwanz 30,144. Wenn also unsere berechnete Teststatistik größer als 30,144 ist, lehnen wir die Nullhypothese auf 5 Signifikanzniveau ab. Antwort: Untersucht man die vierteljährlichen Renditen für diesen Zeitraum, so finden wir unsere Stichprobenabweichung (s 2) ist 135. Mit n 20 und 0 2 100 haben wir alle Daten, die zur Berechnung der Teststatistik erforderlich sind. 2 ((n - 1) s 2) / 0 2 ((20 - 1) 135) / 100 2565/100 oder 25,65. Da 25.65 kleiner als unser kritischer Wert von 30.144 ist, haben wir nicht genügend Beweise, um die Nullhypothese zurückzuweisen. Während dieser Fonds in der Tat recht volatil sein kann, ist seine Volatilität nicht statistisch bedeutungsvoller als der Marktdurchschnitt für den Zeitraum. Hypothesentests bezüglich der Gleichheit der Varianzen von zwei normalverteilten Populationen, bei denen beide Stichproben zufällig und unabhängig sind Für Hypothesentests bezüglich relativer Werte der Varianzen von zwei Populationen - ob 1 2 (Varianz der ersten Population) und 2 2 (Varianz Der zweiten) sind gleich / nicht gleich / größer / kleiner als - wir können Hypothesen auf eine von drei Arten konstruieren. 13 Wenn ein Hypothesentest Abweichungen von zwei Populationen vergleicht und wir davon ausgehen können, dass zufällige Stichproben aus den Populationen unabhängig (unkorreliert) sind, ist der entsprechende Test der F-Test, der das Verhältnis der Probenabweichungen darstellt. Wie beim Chi-Quadrat ist die F-Verteilung eine Familie von asymmetrischen Verteilungen (von links nach links gebunden). Die F-Familie der Verteilungen wird durch zwei Freiheitsgrade definiert: den Zähler (df 1) und den Nenner (df 2). Jeder der Freiheitsgrade wird aus den Stichprobengrößen (jede Stichprobengröße - 1) entnommen. Der aus den Probendaten entnommene F-Test kann entweder s 1 2 / s 2 2 oder s 2 2 / s 1 2 sein, wobei die Konvention verwendet wird, je nachdem, welches Verhältnis die größere Zahl erzeugt. Auf diese Weise muss sich der F-Test nur mit Werten größer 1 befassen, da eines der beiden Verhältnisse immer eine Zahl über 1 sein wird. Beispiel: Hypothesenprüfung mit Verhältnis von Probenvarianten Zwei Investmentfonds. Fonds A hat höhere Performance-Renditen als Fonds B (die wir im Besitz, leider). Unsere Hypothese ist, dass das Risiko zwischen diesen beiden tatsächlich ganz ähnlich ist, was bedeutet, dass der Fonds A überlegene risikoadjustierte Ergebnisse hat. Wir testen die Hypothese für die letzten fünf Jahre der Quartalsdaten (df ist 19 für Zähler und Nenner). Mit 0.05 Signifikanz ist unser kritischer Wert aus den F-Tabellen 2.51. Nehmen wir an, dass die vierteljährlichen Standardabweichungen 8,5 für den Fonds A und 6,3 für den Fonds B sind. Antwort: Unsere F-Statistik ist (8,5) 2 / (6,3) 2 72,25 / 39,69 1,82. Da 1,82 das Ablehnungsniveau von 2,51 nicht erreicht, können wir die Nullhypothese nicht zurückweisen, und wir geben an, dass das Risiko zwischen diesen Fonds nicht signifikant verschieden ist. Konzepte aus der Hypothese-Test-Sektion sind wahrscheinlich nicht durch rigorose Übungen in Anzahl crunching getestet werden, sondern eher die Identifizierung der einzigartigen Attribute einer bestimmten Statistik. Beispielsweise kann eine typische Frage gestellt werden: In der Hypothesenprüfung, welche Teststatistik durch zwei Freiheitsgrade definiert wird, können der Zähler und der Nenner diese Wahl treffen: A. t-test, B. z-test, C. chi - Quadrat oder D. F-Test. Natürlich wäre die Antwort D. Eine andere Frage könnte fragen, welche Verteilung ist nicht symmetrisch, und geben Sie dann diese Wahlmöglichkeiten: A. t, B. z, C. chi-Quadrat, D. normal. Hier wäre die Antwort C. Fokus auf die definierenden Merkmale, da sie die wahrscheinlichste Quelle für Prüfungsfragen sind. Parametrische und nichtparametrische Tests Alle bisher beschriebenen Hypothesentests wurden so oder so entworfen, um den vorhergesagten Wert eines oder mehrerer Parameter zu testen - unbekannte Variablen wie Mittelwert und Varianz, die eine Population charakterisieren und deren beobachtete Werte verteilt sind In einer gewissen vermuteten Weise. In der Tat sind diese spezifischen Annahmen obligatorisch und auch sehr wichtig: Die meisten der am häufigsten angewandten Tests werden mit Daten aufgebaut, die davon ausgehen, dass die zugrundeliegende Bevölkerung normal verteilt ist, was, wenn nicht wahr, die Schlussfolgerungen ungültig macht. Je weniger normal die Bevölkerung (d. h. desto schrägere die Daten), desto weniger sollten diese parametrischen Tests oder Verfahren für den beabsichtigten Zweck verwendet werden. Nichtparametrische Hypothesentests sind für Fälle ausgelegt, in denen entweder (a) weniger oder unterschiedliche Annahmen über die Populationsdaten angebracht sind, oder (b) wenn der Hypothesentest keinen Populationsparameter betrifft. In vielen Fällen sind wir neugierig auf eine Reihe von Daten, aber glauben, dass die erforderlichen Annahmen (z. B. normal verteilte Daten) nicht für dieses Beispiel gelten, oder sonst ist die Stichprobengröße zu klein, um bequem eine solche Annahme zu machen. Eine Anzahl von nichtparametrischen Alternativen wurde entwickelt, um in solchen Fällen verwendet zu werden. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele, die den üblichen parametrischen Tests entsprechen. 13 Häufigkeit der Hypothese
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